Jurisconsulto y estadista. Nació en Buenos Aires en una familia de recursos moderados; el padre era sargento mayor del ejército; se graduó en la Facultad de Derecho de la Universidad de Buenos Aires en 1846; a través de sus propios esfuerzos, estudió también dibujo y abrió su propio estudio pero poco después fue atraído por la vida pública. 
Se unió a Urquiza en la conspiración organizada para derrocar a Rosas y después de 1852, transcurrida la batalla de Caseros, centró sus energías en asuntos gubernamentales; se conectó muy íntimamente con Bartolomé Mitre y se desempeñó como su ministro de Hacienda en oportunidad de ocupar Mitre el cargo de gobernador de la provincia de Buenos Aires, perteneció al grupo de éste, que deseaba la unión federal bajo el liderazgo de Buenos Aires; intervino en la convención constituyente convocada para reformular la Constitución a fin de posibilitar la unión nacional. 

 Durante la presidencia de Mitre, Elizalde ocupó el cargo de ministro de Relaciones Exteriores, y es a veces considerado como el primer ministro de Relaciones Exteriores argentino, no sólo porque ya había actuado en tal carácter sino también como un tributo a sus habilidades; con firmeza, energía y una considerable porción de sabiduría, se dedicó a la solución de complicados problemas heredados del régimen de Rosas y de la Confederación, así como también a la de problemas limítrofes de antigua data; mediante los tratados concertados con España, Chile, Bolivia, el de la formación de la Triple Alianza (Brasil, Argentina y Uruguay), así como también en razón de su firme insistencia en que cada nación americana era individual y que se debía gobernar a sí misma en la medida de lo posible, luchando por sus intereses y no como parte de una entidad política hemisférica. 
Elizalde creó una política exterior argentina por primera vez; su deseo era suceder a Mitre en la presidencia como candidato por los nacionalistas pero fue derrotado por Domingo Faustino Sarmiento; ejerció el derecho, se involucró en diversas comisiones de obras públicas y en la construcción del Ferrocarril Oeste; colaboró con el diario La Nación de Mitre; se desempeñó nuevamente en carácter de ministro de Relaciones Exteriores en el gabinete del presidente Avellaneda; luego se retiró de la vida pública; falleció en buenos Aires.

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